vineri, 7 noiembrie 2008

Fibonacci

Prin anul 1170, lângă Pisa, s-a născut un băiat, botezat Leonardo, şi cu originalitatea vremurilor, numit Leonardo Pisano. Tatăl său avea porecla Bonacci, bine făcut, sper că am tradus bine, şi de aici redenumirea lui Leonardo în Fibonacci adică fiul lui Bonacci.

La 12 ani Fibonacci pleacă împreună cu tatăl său în Algeria pentru afaceri. Italienii la vremea respectivă se antrenau să devină primii bancheri din Europa. Aveau, însă, o mare problemă. Încercaţi să faceţi împărţirea MCMXXVIII la XIX fără să treceţi în cifrele actuale. Eu nu-s în stare şi dă şi cu virgulă.

Ce-şi aduce aminte personajul în cauză.

"I was still a child, and having an eye to usefulness and future convenience, desired me to stay there and receive instruction in the school of accounting. There, when I had been introduced to the art of the Indians’ nine symbols through remarkable teaching, knowledge of the art very soon pleased me above all else and I came to understand it, for whatever was studied by the art in Egypt, Syria, Greece, Sicily and Provence [a region in France], in all its various forms."

Ca să vedem ce ne-a adus contabilitatea. Şi să nu ne mai uităm chiorâş la contabili. Versiunea a doua a cărţii Liber Abaci din 1228 a dus la răspândirea cifrelor arabe, de fapt indiene, în Europa.

În cartea cu pricina Fibonacci rezolva probleme practice. La vremea aia afacerile se făceau în diferite monede, Fibonacci a introdus nişte valori de schimb între diferitele monede, a unificat sistemele de măsură, să ştie lumea că 2 monede din Bizanţ fac 3 din Pisa şi că 8 coţi din Algeria fac 9 în Egipt. Astea-s de la mine, valorile nu ideile. Toate lucrurile din carte aveau un scop precis, capabilitatea contabililor să măsoare profitul unei afaceri. Capitalismul îşi pregătea instrumentele, globalizarea e doar o consecinţă a sistemului.

Omul a mai scris cărţi, a fost gratulat de Împâratul Sfântului Imperiu Roman şi în 1240 s-a ales cu pensie de la oraşul Pisa. N-a făcut grevă să i-o mărească.

Liber Quadratorum - Cartea pătratelor se ocupă de matematică pură. Află cum să genereze triunghiuri dreptunghice cu valori numere naturale. Not a big deal pentru epoca noastră dar pentru anii 1200 mare.

În a treia parte a Liber Abaci pune o problemă cu iepuri. Am o pereche de iepuri (mascul şi femelă) care face în fiecare lună o pereche nouă (mascul şi femelă), aceasta din urmă creşte o lună şi apoi intră şi ea în producţie în acelaşi ritm. Câte perechi am după un număr de luni? Problema e tâmpită, rezultatul nu.


Răspunsul stă în şirul 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21....
Fiecare termen nou e suma celor doi anteriori, poartă numele de şirul lui Fibonacci. Şi la ce ne foloseşte, iepurii nu cresc aşa. Iepurii nu, dar plantele se dezvoltă urmând valorile şirului lui Fibonacci. Margaretele de exemplu sau floarea soarelui. Sau pânzele de păianjen. E o lege a naturii pe care oamenii au folosit-o încă înainte de a şti că există.

13/21 = 0.619047, 144/233 = 0.618037, cu cât mergem mai departe în raportul dintre doi termeni din şir ne apropiem de 0.618034, număr care defineşte secţiunea de aur sau raportul de aur.

Aproximările acestui număr sunt folosite încâ din Antichitate în arhitectură. Istoria lui porneşte de la Euclid şi i-a cam lăsat cu gura căscată pe adepţii lui Pitagora, altă istorie. Dimensiunile sediului Naţiunilor Unite de la New York respectă acest raport. E folosit de la picturile Renaşterii, la colile A4. Teste făcute de psihologi au arătat că în mod natural ne place secţiunea de aur. De ce e un mister.

Fibonacci a făcut legătura între Antichitate şi Renaştere.

26 de comentarii:

gabhry_el spunea...

Mi-a placut postarea, da' nu inteleg de ce a trebuit s-o strici la sfarsit cu Obama?

"un Obama verificat al matematicii"???

Crezi ca Obama e un Fibonacci al politicii?

Zau, chiar nu trebuia sa fortezi analogia.

Dan Selaru spunea...

Mda. Hai sa/l scot. Ai dreptate.

Nora spunea...

Legea lui Fibonacci este, asa cum ai prezentat-o, o lege a armoniei si durabilitatii in natura.In orice constructie umana, inclusiv sociala. Cand e incalcata repercursiunile inseamna degradare, deformare, distrugere. Esteticienii si matematicienii au fost primii care au gasit secretul numarului de aur. Ca o curiozitate, acest numar se regaseste si in piramida lui Keops, ale carei dimensiuni sintetizeaza date geofizice si cosmice.

Nora spunea...

Comletez: inclusiv in orice constructie umana.

Dan Selaru spunea...

Nu stiu daca e valabil peste tot, si in natura sunt lucruri care cresc dupa alte legi decat sirul lui Fibonacci. In arhitectura actuala nu e aproape deloc respectata. Ma rog, e de dezbatut.

gabhry_el spunea...

Ce mi se pare fascinant, e ca exista un RITM al vietii, al cresterii vietii (care, in idealitatea, iar nu in concretitudinea lui, poate fi descris matematic).

Semnificativ mi se pare si celalat fapt amintit de tine: "cu cât mergem mai departe în raportul dintre doi termeni din şir ne apropiem de raportul de aur".

De parca evolutia vietii (in ea insasi) ne-ar duce tot mai aproape de ideal, de perfectiune.
Ideal care este (exprimat de un numar) IRATIONAL.

Asadar, ceea ce este viu - materia insufletita - tinde spre un ideal care nu poate fi cuprin cu ratiunea.

Dan Selaru spunea...

Foarte misto. E mult mai probabil sa fie irational. Ca sa fim exacti probabilitatea sa fie rational e nula. Mai important este ca poate sa fie exprimat matematic, deci e comprehensibil. Cumva putem întelege frumusetea, o putem exprima. Nu avem motivul pentru care frumusetea e frumusete.

gabhry_el spunea...

Atentie!

Daca este irational nu inseamna ca este ilogic.

Este irational din punctul NOSTRU de vedere.

Simplul fapt ca exista o ordine in acest sir arata ca are o ratiune.

Pe care o putem INTELEGE, chiar si prin simplul fapt ca Fibonacci a (re)descoperit-o.

Dan Selaru spunea...

Asta spun si eu.

Turambar spunea...

Alo! Alo! Matematica... Nu uitati definitia formala a unui numar rational, vs irational. Dan cu


In alta ordine de idei: cititi asta

On Growth and Form - D'Arcy Wentworth Thompson

http://en.wikipedia.org/wiki/On_Growth_and_Form

http://www.amazon.com/Growth-Form-DArcy-Wentworth-Thompson/dp/0521437768/ref=pd_sim_b_1

The central theme of On Growth and Form is that biologists of its author's day overemphasized evolution as the fundamental determinant of the form and structure of living organisms, and underemphasized the roles of physical laws and mechanics. He advocated structuralism as an alternative to survival of the fittest in governing the form of species.

On the concept of allometry, Thompson wrote:

"An organism is so complex a thing, and growth so complex a phenomenon, that for growth to be so uniform and constant in all the parts as to keep the whole shape unchanged would indeed be an unlikely and an unusual circumstance. Rates vary, proportions change, and the whole configuration alters accordingly."

Thompson pointed out example after example of correlations between biological forms and mechanical phenomena.

He showed the similarity in the forms of jellyfish and the forms of drops of liquid falling into viscous fluid, and between the internal supporting structures in the hollow bones of birds and well-known engineering truss designs.

His observations of phyllotaxis (numerical relationships between spiral structures in plants) and the Fibonacci sequence has become a textbook staple.

Turambar spunea...

Scuze. Nu am postat tot. Revin la numere rationale vs irationale. Repet: sunt mai mult ca sigur ca Dan, prin formatia sa, se referea la acceptiunea matematica a numarului rational / irational.

Therefore, va rog sa nu incurcam in minte abordarea discursiva si filosofica de blog, supusa inevitabil conceptelor largi, ambigue, fuzzy, cu definitiile riguroase din matematica.

http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html

A rational number is a number that can be expressed as a fraction p/q where p and q are integers and q!=0. A rational number p/q is said to have numerator p and denominator q. Numbers that are not rational are called irrational numbers. The real line consists of the union of the rational and irrational numbers. The set of rational numbers is of measure zero on the real line, so it is "small" compared to the irrationals and the continuum.

An irrational number is a number that cannot be expressed as a fraction p/q for any integers p and q. Irrational numbers have decimal expansions that neither terminate nor become periodic. Every transcendental number is irrational.

Dan Selaru spunea...

Stai ca nu inteleg.
Pe puncte.
1. Ca numarul e irational e evident din faptul ca numerele rationale fac o multime de masura Lebesgue nula in R. - am zis

2. Tocmai scriu despre "forma urmeaza functia" vs. "functia urmeaza forma".

Turambare nu ma supune la perversiuni ca mai am si treaba. :-)
Si sunt si operat. Glumesc.

Dan Selaru spunea...

Mai rarefiati baieti, mai rarefiati.

gabhry_el spunea...

turambar

Eu credeam ca matematica nu e facuta pentru ea insasi.
Poate ca spune si altceva decat numere, siruri etc.

Pitagora a fost si filosof, daca nu ti-e cu suparare, adica a vazut si dincolo de numere.

P.S. Fuzzy are o conotatie negativa, e un imprumut din filosofia anglo-saxona, lipsita de orice organ speculativ.

Dan Selaru spunea...

Matematica exista in afara lumii. Poti sa faci o matematica fara nicio legatura cu realitatea. Fuzzy presupune raspunsuri semi-umane la intrebari.

Cum e un mar jumatate rosu, jumatate verde? Aproape copt, cu procente de copt si necopt. Asta inseamna fuzzy in acceptiunea matematica.

Turambar spunea...

Gabhry_el spune uite asa:

Atentie!
Daca este irational nu inseamna ca este ilogic.
Este irational din punctul NOSTRU de vedere.
Simplul fapt ca exista o ordine in acest sir arata ca are o ratiune.
Pe care o putem INTELEGE, chiar si prin simplul fapt ca Fibonacci a (re)descoperit-o.


"Irational din punctul NOSTRU de vedere". Asta imi miroase a filosofie de blog. Nu a matematica. De'aia am intervenit.

"E mult mai probabil sa fie irational. Ca sa fim exacti probabilitatea sa fie rational e nula. " "Masura Lebesgue nula in R."

Si mai spui ca noi suntem pervesi :) :p

Dan Selaru spunea...

Vezi ca trec la numerele aleph

gabhry_el spunea...

turambar

Matematica nu spune nimic daca vezi in ea doar numere.
Poti face, eventual, matematica de blog.

Uite ca altii au vazut si altceva.
Dan aminteste: silabe, iepuri, margarete, floarea-soarelui.

Daca tu vrei sa ramai IN si LA matematica, eu ma retrag, nu inainte de a-mi cere scuze daca am fost pervers.

Iti doresc o viata non-fuzzy, geometrica daca vrei.

Sa calculezi bine!

Dan Selaru spunea...

Cu mila, cu mila si cu calm. Nimeni nu-i rau p-aici. Suntem dusi cu capul, ne certam pe Fibonacci? Avem subiecte mult mai serioase. ;-)

Turambar spunea...

:)

Mai iratzionalilor...

:p

Dan Selaru spunea...

Transcendentilor, s-o facem lata! Adica aia care nu sunt solutia unei ecuatii algebrice cu coeficienti rationali. Na!

filadel spunea...

Mi-a plăcut tare!

Dan Selaru spunea...

Merci

Anonim spunea...

Unul dintre cei mai mari arhitecti ai secolului XX, promotor al arhitecturii moderne, nunoscut sub numele de Le Corbusier, a folosit in constructiile sale sirul lui Fibonacci si nr de aur. A se vedea " Le modulor".
Cora_

Anonim spunea...

Nicu: Frumos 'documentar' ,sunt chestii care tin de cultura genrala ,iti multumesc Dane.

John Galt spunea...

Nu e mister. Asa e obisnuit ochiul sa vada lumea din jur. Creierul face in timp real o medie ponderata a tuturor obiectelor, formelor si proportiilor din jur, motiv pentru care se aprinde beculetul si face ding exact ca si cand ar auzi clopotelul lui Pavlov. Cand intalneste o astfel de forma el recunoaste fara sa vrea care e varful distributiei normale, si intra in rezonanta.. :)